Лаборатория теории вероятностей и компьютерной статистики

Основные направления научных исследований

Теория случайных графов

Вероятностные методы дискретной математики

Прикладная статистика

Теория компактных топологических пространств

Основные результаты деятельности

Сотрудниками лаборатории теории вероятностей и компьютерной статистики получены результаты в следующих областях:
Теория случайных лесов
Методы решения задач комбинаторного анализа
Конфигурационные графы
Стохастические модели и анализ данных
Функториальные конструкции топологии и их приложения к исследованию вероятностных мер
Классы пространств, обладающих специальным спектральным разложением



Теория случайных лесов

Создана теория случайных лесов, основные положения которой изложены в книге [1]. Рассматривались критические леса Гальтона-Ватсона, генерируемые ветвящимися процессами с конечным третьим моментом распределения числа прямых потомков частиц. Во всех основных зонах стремления числа деревьев и числа вершин к бесконечности найдены предельные распределения максимального объема дерева, числа деревьев заданного объема и высоты случайного леса. Затем было показано, что эти результаты сохраняют силу и в случае конечности только дисперсии числа потомков частиц [2]. В [3, 4] доказаны предельные теоремы для числа вершин в слоях случайного леса и для членов вариационного ряда объемов деревьев. Кроме того, найдены условия возникновения гигантского дерева, т. е. дерева, число вершин которого пропорционально стремящемуся к бесконечности числу всех вершин графа, в то время как объемы других деревьев бесконечно малы по сравнению с объемом максимального дерева.

Рассматривались также случайные леса, не являющиеся лесами Гальтона-Ватсона, они не могут быть образованы ветвящимися процессами. В [5, 6] доказаны предельные теоремы для объемов деревьев случайного рекурсивного леса, а в [7] найдены условия возникновения гигантского дерева.

Для случайных лесов, описанных в [1], изучена динамика числа вершин заданной степени [8], а для случайного некорневого непомеченного леса найдена асимптотика максимального объема дерева [9]. В статье [10] впервые рассматривались асимптотические свойства случайных лесов Гальтона-Ватсона, в которых число вершин не известно, как считалось раньше, а ограничено.

Теория случайных графов широко применяется при моделировании сложных сетей коммуникаций. Одной из наиболее удачных моделей таких сетей является конфигурационный граф. Оказалось, что для исследования структуры и динамики таких графов можно успешно использовать методы теории ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона. Поскольку множество траекторий ветвящегося процесса вместе с индуцированным естественным образом на этом множестве распределением вероятностей образует случайный лес, в [11] была впервые предложена идея использовать результаты о случайных лесах для изучения конфигурационных графов. Однако важной особенностью современных сложных сетей является то, что число прямых потомков частиц соответствующих ветвящихся процессов имеет бесконечную дисперсию. Это значит, что все известные до сих пор результаты о случайных лесах неприменимы для решения задач о моделях сетей. Поэтому возникла необходимость существенного расширения теории и разработки новых методов исследования. Были доказаны предельные теоремы об объемах деревьев случайных лесов Гальтона-Ватсона, образованных критическими ветвящимися процессами с бесконечной дисперсией числа прямых потомков частиц [11, 12].

Методы решения задач комбинаторного анализа

Вероятностный подход к решению перечислительных задач о комбинаторных объектах является очень эффективным. Он позволяет существенно облегчить получение нужных результатов по сравнению с прямыми вычислениями, а в ряде случаев даже не имеет альтернативы. Суть подхода состоит во введении вероятностной меры на множестве изучаемых объектов и нахождении вероятностей появления исследуемых свойств. При известной мощности множества объектов эта вероятность равна доле объектов, обладающих желательными свойствами.

В книге [13] изучались случайные однозначные отображения конечного множества в себя. Такие отображения можно представлять ориентированным графом, в котором каждая дуга соответствует отображению одного элемента множества в другой. Каждая компонента связности такого графа содержит один цикл, а циклические вершины служат корнями деревьев, дуги которых направлены в сторону корней. Если убрать циклические вершины, то оставшийся подграф образует лес, что позволяет использовать результаты о случайных лесах для изучения случайных отображений. Если рассмотреть взаимно однозначное отображение, которое называется подстановкой, то компонентами соответствующего графа являются ориентированные циклы. Для равновероятных отображений найдены предельные распределения числа циклических вершин, объемов деревьев и максимального объема дерева. Такие же задачи решены для отображений с ограничениями на число циклов. Кроме того, исследована асимптотика числа циклов случайной подстановки.

Центральное место в доказательствах результатов, полученных в [1, 13] и в подавляющем большинстве последующих работ занимает использование обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам, введенной и изученной В. Ф. Колчиным. Эта схема позволяет получать как явные перечислительные формулы, так и их асимптотики при стремлении числа объектов к бесконечности. Важнейшее преимущество обобщенной схемы состоит в возможности сводить задачи о зависимых случайных величинах к более простым задачам, в которых случайные величины независимы. Поэтому значительное внимание было уделено развитию методов, использующих схему размещения. В процессе этой работы удалось существенно расширить сферу применения таких методов. Основную техническую трудность в исследованиях составляет необходимость доказательства интегральных и локальных предельных теорем для распределений сумм случайных величин о сходимости к устойчивым законам, включая схемы серий и большие уклонения.

В [14] найдены предельные распределения числа пар одноцветных шаров в классических урновых схемах, числа цепей случайного леса, где цепь – пара некорневых вершин, соединенных простым путем, а также числа пар элементов, содержащихся в одном цикле случайной подстановки. В [15] исследована асимптотика числа циклов заданной длины в случайной подстановке с известным числом циклов. Изучались классы изоморфных графов случайного отображения, для которых доказаны предельные теоремы об объемах деревьев [16]. Найдены предельные распределения числа циклических вершин в графе случайного однозначного отображения с известным числом циклов[17]. Получена оценка скорости сходимости к предельному закону распределения числа циклов заданной длины случайной подстановки с известным числом циклов [18]. В [19] найдено предельное распределение числа деревьев заданного объема в графе случайного отображения с известным числом компонент связности, а в [20] – числа вершин заданной степени.

В моделях современных сложных сетей коммуникаций часто предполагается, что распределения степеней вершин зависят от медленно меняющихся функций, нередко неизвестных. Такие случайные графы рассмотрены в [11, 12]. Для получения результатов об этих графах, кроме обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам, предложено использовать свойства правильно меняющихся функций и тауберовы теоремы.

Конфигурационные графы

Случайные графы широко используются в качестве моделей сложных сетей коммуникаций, таких как Интернет, социальные, транспортные сети, системы мобильной связи и т. д. Многочисленные наблюдения за реальными сетями показали, что степени вершин моделирующего сеть графа можно считать независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Одним из видов случайных графов, отвечающих этим условиям, является конфигурационный граф. В таком графе степень любой вершины равна числу инцидентных вершине помеченных полуребер, т. е. ребер, для которых смежные вершины еще не определены. Граф строится путем попарного равновероятного соединения полуребер друг с другом для образования ребер. Поскольку сумма степеней вершин должна быть четной, в граф вводится вспомогательная вершина единичной степени или дополнительное полуребро добавляется к равновероятно выбранной вершине. Известно, что эти вспомогательные элементы не влияют на асимптотическое поведение основных числовых характеристик графов при стремлении числа вершин к бесконечности. Понятно, что в такой конструкции графа возможно появление петель и кратных ребер. Эмпирические данные показывают, что в реальных сетях распределения степеней вершин обычно имеют хвосты, соответствующие дискретному степенному закону, а число вершин с большими степенями пропорционально общему числу вершин графа.

Исследования описанных выше моделей начались с простейших конфигурационных графов, в которых все степени вершин подчиняются дискретному закону Парето, параметр которого принадлежит интервалу (1, 2), что, как хорошо известно, соответствует большинству моделируемых сетей. Это распределение имеет конечное математическое ожидание, но бесконечную дисперсию. Известно также, что граф с такими свойствами содержит гигантскую компоненту связности. Было показано [21], что предельным распределением объема гигантской компоненты является нормальный закон. В [22] впервые рассматривались условные конфигурационные графы при условии, что число ребер известно. Такие графы могут служить моделями сетей, в которых можно оценить число возможных связей. Кроме того, результаты об условных графах можно использовать и для изучения сетей без ограничений на число связей путем усреднения соответствующих результатов по распределениям числа ребер. Такие распределения можно находить, используя методы доказательства как интегральных, так и локальных предельных теорем для сумм случайных величин. Понятно, что получать результаты о конфигурационных графах с известным числом ребер, технически значительно проще, чем в случае, когда сумма степеней вершин случайна. В [22, 23] показано, что для исследования условных конфигурационных графов можно использовать обобщенную схему размещения частиц по ячейкам, что является новым примером решения прикладных задач с помощью этой схемы. В результате были доказаны типичные для схемы размещения теоремы для максимальной степени вершины и числа вершин заданной степени в конфигурационном графе. Степенная структура условных конфигурационных графов, распределения вершин которых не имеют не только дисперсии, но и математического ожидания, изучалась в [24]. Были найдены предельные распределения числа петель конфигурационного графа без ограничений на число ребер [25].

Модели сетей коммуникаций, выраженные в виде конфигурационного графа, можно использовать для оценки устойчивости сетей к разрушающим воздействиям. Рассматривалось два вида разрушений – «случайный сбой» и целенаправленный «террористический акт». В первом случае из графа поочередно удалялись равновероятно выбранные вершины вместе с инцидентными им ребрами, а во втором на каждом шаге удалялась вершина с максимальной степенью. Для графов, содержащих гигантскую компоненту связности, был предложен критерий разрушения, основанный на сравнении объемов гигантской и второй по величине компонент. Это позволило оценивать робастность сетей путем подсчета числа шагов, необходимых для того, чтобы сеть можно было считать разрушенной. Оказалось также, что конфигурационные графы можно использовать не только для моделирования сложных сетей коммуникаций, но и таких явлений, как банковские кризисы и лесные пожары. В последнем случае вершины графа можно интерпретировать как деревья, растущие на некоторой территории, а ребра – как возможные переходы огня от дерева к дереву (например, по сухой траве в случае низового пожара или по воздуху под воздействием ветра при верховом пожаре). Еще одним параметром модели служит вероятность перехода огня по ребру. Предполагается, что эта вероятность оценивается специалистами лесного хозяйства с учетом особенностей местности, розы ветров, типа пожара и т. д. Как и в случае разрушения сети, рассматривались два вида пожара – случайное возгорание («удар молнии»), при котором огонь распространяется с равновероятно выбранной вершины и целенаправленный поджог, начинающийся с вершины, имеющей максимальную степень. Такие модели предложено использовать для оценивания последствий пожара. В случае планирования лесопосадок модель позволяет найти оптимальное расположение деревьев, обеспечивающее, с одной стороны, достаточный объем древесины для лесной промышленности, а с другой стороны, минимизирующее потери в случае пожара. В [26] рассматривались модели, описывающие и разрушения сетей, и лесные пожары. Построены зависимости объемов компонент связности от типа разрушающего воздействия, параметров распределений степеней вершин и начального объема графа, а для лесного пожара найдены зависимости доли уцелевших после пожара вершин от вида пожара, начального объема графа, параметров распределений степеней вершин и вероятностей перехода огня по ребрам. Оказалось, что рассматриваемые конфигурационные графы очень устойчивы к случайным разрушающим воздействиям, но очень уязвимы при целенаправленных атаках. Это значит, что для защиты сетей необходимо направить усилия на важнейшие узлы, а не равномерно распределять имеющиеся средства. Основным методом исследования устойчивости было имитационное моделирование.

В [27, 28] рассматривались и сравнивались графы с двумя распределениями степеней вершин – степенным и пуассоновским. Предполагалось, что возгорание происходит в случайной среде, где вероятности перехода огня по ребрам являются случайными величинами, равномерно распределенными на интервале [0, 1]. Другой вариант случайной среды обсуждался в [29], где распределение степени каждой вершины выбиралось из семейства степенных распределений со случайным параметром. При выборе распределения параметра в соответствии с эмпирическими данными предпочтение было отдано усеченному гамма-распределению. Проведено сравнение модели в случайной среде с аналогичной моделью с усредненным значением параметра распределения степеней. Найдены условия, при выполнении которых исследование устойчивости в случайной среде может быть сведено к изучению эволюции графов в обычной среде, что значительно проще [30].

В [31] впервые рассматривались условные конфигурационные графы при условии, что число ребер неизвестно, но ограничено. В [32] найдены предельные распределения максимальной степени вершины при изменяющимся параметре степенного распределения степеней вершин, значения которого приближаются к точкам фазового перехода, в которых структура графа резко меняется.

Впервые исследовалась динамика степенной структуры конфигурационных графов с известным или ограниченным числом ребер и с распределением степеней, о которых известны только слабые ограничения на асимптотическое поведение вероятностей больших значений степеней [33, 34]. Получены предельные распределения числа вершин заданной степени в графе с равномерно распределенным на конечном интервале параметром степенного распределения степеней и с ограниченном числом ребер [35]. Доказана теорема об асимптотическом поведении кластерного коэффициента конфигурационного графа с неизвестным распределением степеней вершин [36]. Найдены условия, при выполнении которых вероятность связности конфигурационного графа сходится к единице при стремлении к бесконечности числа вершин и дана оценка скорости такой сходимости [37, 38].

Стохастические модели и анализ данных

Предложена и исследована оригинальная модель отношения «паразит-хозяин». Известно, что число паразитов на хозяине обычно имеет отрицательное биномиальное распределение и эта закономерность наблюдается практически независимо от видов хозяев и паразитов. Было использовано известное представление отрицательного биномиального закона в виде смешанного распределения Пуассона, параметр которого случаен и имеет гамма-распределение. Показано, что в такой модели закон Пуассона характеризует встречаемость паразитов хозяином, а гамма-распределение связано с индивидуальными особенностями (в том числе генетическими) организмов хозяев. Наблюдения за хозяевами и паразитами в природе и в лабораторных условиях показали адекватность предложенной модели. Она позволяет описывать взаимодействия паразитов и хозяев и прогнозировать происходящие процессы в различных популяциях [39 – 43].

Для проверки гипотез о распределении степеней вершин условного конфигурационного графа была предложена статистика типа хи-квадрат и найдено ее предельное распределение [44].

Проводился анализ медицинских данных, полученных в ходе исследований крови больных артрозом и сделаны выводы о диагностической ценности некоторых показателей [45, 46].

Решались задачи, связанные с проблемой параметрической идентифицируемости моделей факторного анализа, в том числе в случае зависимых факторов и наличия латентных переменных [47, 48, 49].

Одним из наиболее популярных и широко используемых современных методов прикладной статистики является метод случайных лесов. Были рассмотрены вопросы, касающиеся состоятельности метода и особенностей его использования при решении задач классификации, регрессии и др. Составлен обзор литературы и программного обеспечения [50].

Была построена графовая модель сетей коммуникаций, по которым распространялись изделия мастерских эпохи неолита побережья Онежского озера, предложен статистический метод сравнения стадий обработки каменных орудий из различных стоянок-мастерских. Метод основан на сравнении фрактальных размерностей распределения отщепов готовых изделий [51, 52].

По заказу музея-заповедника «Кижи» с помощью дисперсионного и корреляционного анализов были обнаружены критерии, по которым осуществлялся отбор древесины для строительства культовых сооружений на территории республики Карелия [53].

Методы кластерного и факторного анализов использовались для получения оценок атмосферных осадков на территории Финляндии и Карелии с целью выявления источников загрязнения и поиска методик контроля антропогенного воздействия на окружающую среду [54].

Функториальные конструкции топологии и их приложения к исследованию вероятностных мер

Для любого полунормального метризуемого функтора введено понятие размерности финитной аппроксимации элементов пространств, возникающих при действии функтора на метрические компакты. Примерами этого понятия являются ёмкостная размерность (играющая важную роль в теории динамических систем) и размерность квантования вероятностных мер, определённая в рамках теории вероятностей. Функториальный подход позволяет выявить общие закономерности, что даёт основу для построения близких теорий в других областях. На этом пути в работе [55] определена и исследована размерность квантования идемпотентных мер, которые находят всё более широкое применение в прикладных сферах. Для всех указанных размерностей доказаны теоремы о промежуточных значениях [55], [56]. Предложенные методы дают возможность определить и исследовать понятие равномерного распределения на метрическом компакте, обобщающее классическое представление о равномерном распределении на подмножествах евклидова пространства [57].

Классы пространств, обладающих специальным спектральным разложением

Решена проблема С.Ватсона о принадлежности классу F-компактов пространства Хелли [58]. Доказана теорема об антимультипликативности класса F-компактов [59]. Определено и исследовано понятие квази-F-компакта [60]. Доказано, что для F-компакта спектральной высоты 3 на пространстве С(Х) существует LUR-норма [61].

Литература
1. Pavlov Yu.L. Random forests. Utrecht, VSP, 2000, 122 p.
2. Kazimirov N.I., Pavlov Yu.L. A remark on Galton-Watson forests. Discrete Math. Appl., 10(1), 2000, 49-62. Doi: 10.1515/dma.2000.10.1.49
3. Cheplyukova I.A. Emergence of the giant tree in a random forest. Discrete Math. Appl., 8(1), 1998, 17-33. Doi: 10.1515/dma.1998.8.1.17
4. Pavlov Yu. L., Cheplyukova I.A. Limit distributions of the number of vertices in strata of simply generated forests. Discrete Math. Appl., 9(2), 1999, 137-154. Doi: 10.1515/dma.1999.9.2.137
5. Pavlov Yu.L., Loseva E.A. Limit distributions of the maximum size of a tree in a random recursive forest. Discrete Math. Appl., 12(1), 2002, 45-60. Doi: 10.1515/dma-2002-0105
6. Павлов Ю.Л. Предельные теоремы для объемов деревьев в случайном непомеченном лесе. Дискретная математика, 17(2), 2005, 70-86. Doi: 10.4213/dm99
7. Khvorostyanskaya E.V. On conditions for emergence of a giant tree in a random unlabeled forest. Discrete Math. Appl., 17(5), 2007, 439-454. Doi: 10.1515/dma.2007.035
8. Myllari T., Pavlov Yu. Limit distributions of the number of vertices of a given out-degree in a random forest. Journal of mathematical sciences, 138(1), 2006, 5424-5433. Doi: 10.1007/s10958-006-0309-1
9. Bernikovich E.S., Pavlov Yu.L. On the maximum size of a tree in a random unlabeled unrooted forest. Discrete Math. Appl., 21(1), 2011, 1-21. Doi: 10.1515/dma.2011.001
10. Pavlov Yu.L., Khvorostyanskaya E.V. On the maximum size of a tree in the Galton-Watson forest with a bounded number of vertices. Discrete Math. Appl., 24(6), 2014, 363-371. Doi: 10.1515/dma-2014-0032
11. Pavlov Yu.L. The maximum tree of a random forest in the configuration graph. Sbornik: Mathematics, 212(9), 2021, 1329-1346. Doi: 10.1070/SM9481
12. Павлов Ю.Л., Чеплюкова И.А. Объемы деревьев случайного леса и конфигурационные графы. Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 316, 2022.
13. Павлов Ю.Л. Случайные леса. Петрозаводск, КарНЦ РАН, 1996, 258 с.
14. Pavlov Yu.L., Cherepanova E.V. Limit distribution of the number of pairs in generalized allocation scheme. Discrete Math. Appl., 13(5), 2002, 421-423. Doi: 10.1515/dma-2002-0410
15. Cherepanova E.V. Limit distributions of the number of cycles of given length in a random permutation with given number of cycles. Discrete Math. Appl., 13(5), 2003, 507-522. Doi: 10.1515/156939203322694772
16. Pavlov Yu.L. Limit theorems for sizes of trees in the unlabelled graph of a random mapping. Discrete Math. Appl., 14(4), 2004, 329-312. Doi: 10.1515/1569392041938767
17. Cheplyukova I.A. The limit distribution of the number of cyclic vertices in random mapping in a special case. Discrete Math. Appl., 14(4), 2004, 343-352. Doi: 10.1515/1569392041938785
18. Cherepanova E. A. On the rate of convergence of the distribution of the number of cycles of given length in a random permutation with known number of cycles to the limit distributions. Discrete Math. Appl., 16(4), 2006, 385-400.
19. Cheplyukova I. A. On one characteristic of a random mappings with given number of cycles. Discrete Math. Appl., 16(5), 2006, 479-497. Doi: 10.1515/156939206779238454
20. Pavlov Yu. L., Myllari T.B. Limit distributions of the number of vertices of given degree in the forest of a random mapping with a given number of cycles. Discrete Math. Appl., 22(2), 2012, 225-234. Doi: 10.1515/dma-2012-016
21. Pavlov Yu. L. The limit distribution of the size of a giant component in an Internet-type random graph. Discrete Math. Appl., 17(5), 2007, 425-437. Doi: 10.1515/dma.2007.034
22. Pavlov Yu. L., Cheplyukova I. A. Random graphs of Internet type and the generalized allocation scheme. Discrete Math. Appl., 18(5), 2008, 447-463. Doi: 10.1515/DMA.2008.033
23. Pavlov Yu. L. On the limit distributions of the vertex degree of conditional Internet graphs. Discrete Math. Appl., 19(4), 2009, 349-359. Doi: 10.1515/DMA.2009.023
24. Pavlov Yu. L. On conditional Internet graphs whose vertex degrees have no mathematical expectation. Discrete Math. Appl., 20(5-6), 2010, 509-524. Doi: 10.1515/dma.2010.031
25. Pavlov Yu. L., Stepanov M. M. Limit distributions of the number of loops in a random configuration graph. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 282(1), 2013, 202-219. Doi: 10.1134/S0081543813060175
26. Leri M. M., Pavlov Yu. L. Power-law random graph’s robustness: link saving and forest fire model. Austrian journal of statistics, 43(4), 2014, 229-236. Doi: 10.17713/ajs.v43i4.34
27. Лери М. М. Пожар на конфигурационном графе со случайными переходами огня по ребрам. Информатика и ее применения, 9(3), 2015, 65-71. Doi: 10.14357/19922264150307
28. Leri M., Pavlov Yu. Forest fire models on configuration random graph. Fundamenta Informaticae, 145(3), 2016, 313-322. Doi: 10.3233/FI-2016-1362
29. Leri M. M., Pavlov Yu. L. Random graphs’ robustness in random environment. Austrian journal of statistics, 46(3-4), 2017, 89-98. Doi: 10.17713/ajs.v46i3-4
30. Лери М. М., Павлов Ю. Л. Об устойчивости конфигурационных графов в случайной среде. Информатика и ее применения, 12(2), 2018, 2-10. Doi: 10.14357/19922264180201
31. Pavlov Yu. L., Khvorostyanskaya E. V. On the limit distributions of the degree of vertices in configuration graphs with a bounded number of edges. Sbornik: Mathematics, 207(3), 2016, 400-417. Doi: 10.1070/SM8512
32. Pavlov Yu. L. Feklistova E. V. On limit behavior of maximum vertex degree in a conditional configuration graph near critical points. Discrete Math. Appl., 27(4), 2017, 213-222. Doi: 10.1515/dma-2017-0023.
33. Pavlov Yu. L. Conditional configuration graphs with discrete power-law distribution of vertex degrees. Sbornik: Mathematics, 209(2), 2018, 258-275. Doi: 10.1070/SM8832
34. Pavlov Yu. L., Cheplyukova I. A. Limit distributions of the number of vertices of a given degree in a configuration graph with bounded number of edges. Theory Probab. Appl., 66(3), 2021, 376-390. Doi: 10.1137/S0040585X97T990460]
35. Pavlov Yu.L., Cheplyukova I. A. On the asymptotics of degree structure of configuration graphs with bounded number of edges. Discrete Math. Appl., 29(4), 2019, 219-232. Doi: 10.1515/dma-2019-0020
36. Павлов Ю. Л. Об асимптотике кластерного коэффициента конфигурационного графа с неизвестным распределением степеней вершин. Информатика и ее применения, 13(3), 2019, 9-13. Doi: 10.14357/19922264190302
37. Pavlov Yu. L. On the connectivity of configuration graphs. Discrete Math. Appl., 30(1), 2021, 43-49. Doi: 10.1515/dma-2021-0004
38. Павлов Ю. Л. Связность конфигурационных графов в моделях сложных сетей. Информатика и ее применения, 15(1), 2021, 18-22. Doi: 10.14357/19922264210103
39. Иешко Е. П., Павлов Ю. Л. Модель распределения численности паразитов. Доклады АН СССР, 289(3), 1986, 746-748.
40. IeshkoE. P., BarskayaYu. Yu., PavlovYu. L. etal. Population dynamics of glochidia of the freshwater pearl mussel margaritifera margaritifera L., parasitizing on juvenile salmonidae fishers in norten water reservoirs. Biology bulletin, 36(6), 2009, 624-629. Doi: 10.1134/S1062359009060120
41. Иешко Е. П., Бугмырин С. В., Павлов Ю. Л. и др. Особенности динамики и распределения численности паразитов мелких млекопитающих. Труды Зоологического института РАН, 313(3), 2009, 319-328.
42. Pavlov Yu. L. A biological problem and generalized allocation scheme. Discrete Math. Appl., 24(2), 2014, 83-94. Doi: 10.1515/dma-2014-0009
43. Ieshko E. P., Matveeva E. M., Pavlov Yu. L. et.al. Parasitic nematode abundance aggregation as a mechanism of the adaptive response of the host plant to temperature variation. Biology bulletin, 45(4), 2018, 345-350. Doi: 10.1134/S1062359018040076
44. Cheplyukova I. A., Pavlov Yu. L. Local limit theorem for shi-square type statistics in Internet graphs. Computer data analysis and modeling. Proceedings of the ninth International conference, vol. 2, Minsk, Publishing center of BSU, 2010, 10-13.
45. Светлова М. С., Везикова Н. Н., Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. и др. Оценка уровня олигомерного матриксного протеина хряща в крови больного ранним гонартрозом. Клиническая медицина, 86(11), 2008, 65-68.
46. Светлова М. С., Везикова Н. Н., Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. и др. Оценка содержания С-реактивного белка интерлейкинов-1 и -6 и рецепторного антагониста интерлейкина-1 в крови больных ранним остеопорозом коленных суставов. Терапевтический архив, 81(6), 2009, 52-55.
47. Stafeev S. On the method for finding invariants of factor analysis models. Computer data analysis and modeling. Proceedings of the ninth International conference, vol. 1, Minsk, Publishing center of BSU, 2010, 211-214.
48. Стафеев С. В. Об условиях глобальной идентифицируемости для моделей факторного анализа. Труды КарНЦ РАН, 2011, № 5, 111-114.
49. Стафеев С. В. Идентифицируемость моделей структурных уравнений с латентными переменными. Труды КарНЦ РАН, 2019, № 7, 53-57. Doi: 10.17076/mat1086
50. Чистяков С. П. Случайные леса: обзор. Труды КарНЦ РАН, 2013, № 1, 117-136.
51. Tarasov A., Stafeev S. Estimating the scale of stone axe production: a case study from Onega lake, Russian Karelia. Journal of lithic studies, 1(1), 2014, 239-261. Doi: 10.2218/JLS.V11.757
52. Tarasov A., Zobkov M., Stafeev S. The role of debitage size in assessing the spatial organization of lithic production. The case of lake Onega axe and adze workshops. Lithic technology, 45(7), 2020, 140-153. Doi: 10.1080/01977261.2020.1738766
53. Kisternaya M., Kozlov V., Leri M. et. al. Tree rings as criteria for selection of timber for building of chapels in the Republic of Russia. Dendrochronologia, 40, 2016, 143-150. Doi: 10.1016/j.dendro2016.10.002
54. Феоктистов В. М., Лери М. М. Оценка состава атмосферных осадков территории Финляндии и Карелии методами многомерного анализа. Известия Томского политехнического университета. Инженеринг ресурсов. 322(1), 2021, 193-203. Doi: 10.18799/24/31830/2021/1/3012
55. Ivanov A. V. On quantization dimensions of idempotent probability measures. Topology and its Applications, 306, 2022, 107931. Doi: 10.1016/j.topol.2021.107931
56. Иванов А. В. О функторе вероятностных мер и размерностях квантования. Вестник Томского гос. Университета. Математика и механика, 63, 2020, 15-26. Doi: 10.17223/19988621/63/2
57. Ivanov A. V. On uniform distribution on metric compacta. Siberian Mathematical Journal, 61(6), 2020, 1075-1086. Doi: 10.1134/S003744662006087
58. Ivanov A. V. On products of F-compact spaces. Siberian Mathematical Journal, 59(2), 2018, 270-275. Doi: 10.1134/S003744661802009X
59. Ivanov A. V. The class of Fedorchuk compact is antimultiplicative. Topology and its Applications, 235, 2018, 485-491. Doi: 10.1016/j.topol.2017.12.026
60. Ivanov A. V. On products of quasi-F-compacta. Topology and its Applications, 275, 2020, 106998. Doi: 10.1016/j.topol.2019.106999
61. Gulko S. P., Ivanov A. V., Shulikina M. S. et. al. Locally uniformly rotund renormings of the space of continuous functions on Fedorchuk compacts. Topology and its Applications, 271, 2020, 107211. Doi: 10.1016/j.topol.2020.107211

Мероприятия

Сотрудники

Контактная информация

Официальное название: Институт прикладных математических исследований — обособленное подразделение Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального исследовательского центра "Карельский научный центр Российской академии наук"
Адрес: 185910, Россия,
Республика Карелия,
г. Петрозаводск,
ул. Пушкинская, 11
ИПМИ КарНЦ РАН
Контактный телефон(ы): +7 (8142) 78-12-18
Факс: +7 (8142) 76-33-70