Сведения об образовательной организации (Аспирантура)

По направлению подготовки 01.06.01 – Математика и механика (профиль "Теория вероятностей и математическая статистика")

Теория вероятностей и математическая статистика
Введение
В основу программы положены следующие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
1. Вероятностные меры
Алгебры и сигма-алгебры. Конечные и бесконечные измеримые пространства. Теорема Каратеодори о продолжении мер.
Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств R1, Rn, R , RT.
Построение вероятностной меры в R . Теорема Колмогорова. Cxeма Бернулли с бесконечным числом испытаний. Гауссовские последовательности.
Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова.
Измеримые функции. Равномерная сходимость, сходимость почти всюду и сходимость по мере.
Определение интеграла Лебега и его связь с интегралом Лебега-Стилтьеса в R1.
Мера, определяемая с помощью интеграла Лебега. Производная Радона-Никодима.
Произведения мер. Теорема Фубини.
Пространства L1 и L2 и их характеристики.
Сходимость в среднем. Ортогональность или некоррелированность случайных величин. Проекция случайной величины на подпространство, порожденное другими случайными величинами.
Независимость событий и сигма-алгебр. Условные вероятности и условные математические ожидания.
2. Случайные величины и распределения в Rn
Определение и основные свойства функции распределения и характеристической функции случайных величин. Формулы обращения, равенство Парсеваля. Теорема непрерывности.
Центральная предельная теорема. Теорема Берри-Эссеена.
Безгранично делимые распределения. Представление Леви-Хинчина логарифма характеристической функции безгранично делимого закона.
Вероятности больших уклонений.
3. Последовательности случайных величин
Закон нуля или единицы.
Усиленный закон больших чисел.
Закон повторного логарифма.
Стационарность, эргодичность, теорема Биркгофа-Хинчина.
4. Случайные процессы. Распределения в функциональных пространствах
Слабая сходимость, относительная компактность и плотность семейств вероятностных мер.
Непрерывность и дифференцируемость случайной функции.
Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс. Винеровский процесс и свойства его траекторий.
Стохастический интеграл от неслучайной функции и его основные свойства. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса и его корелляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина.
Линейные преобразования стационарных процессов, интегрирование и дифференцирование. Линейное прогнозирование. Гауссовские процессы.
5. Некоторые виды зависимости
Мартингалы и полумартингалы. Тождество Вальда.
Теоремы о сходимости мартингалов.
Цепи Маркова, классификация состояний, условия эргодичности.
Процессы рождения и гибели, ветвящиеся процессы, скачкообразные процессы.
Марковские процессы и полугруппы. Уравнения Колмогорова.
6. Стохастическое исчисление и диффузионные процессы
Стохастический интеграл. Формула Ито.
Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений.
Исследование распределений функционалов от диффузионных процессов с помощью дифференциальных уравнений.
7. Элементы математической статистики
Достаточные статистики и сигма-алгебры. Критерий факторизации.
Полнота семейств распределений. Экспоненциальные семейства.
Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова. Использование для построения наилучшей несмещенной оценки.
Несмещенность. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией. Неравенство Рао-Крамера максимального правдоподобия. Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия.
Простая гипотеза. Критерий для проверки простых гипотез. Ошибки 1-го и 2-го родов. Мощность критерия. Лемма Неймана- Пирсона.
Основная литература
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир 1984.
Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.
Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
Гихман И.И. Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.
Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
Прохоров Ю.В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967.
Дополнительная литература
Энциклопедия "Вероятность и математическая статистика" / Под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Российская энциклопедия, 1999.


Программы-минимум кандидатского экзамена
Последние изменения: 11 июня 2015