Предлагается и исследуется математическая модель периодического процесса управления, предназначенная для решения экологической проблемы сохранения видовой структуры биосообщества «хищник-жертва».Модель основана на сведении непрерывной динамики
к дискретной, порожденной гомеоморфизмами окружности.
Динамика взаимодействия видов описывается трехмерной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Два уравнения задают систему Лотки – Вольтерры, а третье — динамику пищевой привлекательности участка, понятие которой введено в [1]. Специфика системы такова, что ее траектории принадлежат инвариантным цилиндрическим поверхностям, что позволяет провести полное качественное исследование системы.
Моделируется следующий процесс. В некоторый момент времени на участок вводится популяция хищника для уменьшения роста популяции жертвы, которая рассматривается как вредный вид. Это широко распространенная в практике процедура борьбы с вредными инвазивными видами. Если через некоторое время значение пищевой привлекательности участка становится меньше порогового значения, то популяция хищника покидает участок.
Ставится задача управления, состоящая в изъятии части популяции хищника так, чтобы для оставшейся части значение пищевой привлекательности было больше порога.
Вводится понятие допустимого кусочно постоянного управления, которое учитывает
возможность его практической реализации при наименьшей антропогенной нагрузке на
участок. Для решения поставленной задачи предлагается метод касательных управлений,
на основе которого построен периодический процесс управления, как наиболее естествен-
ный, если учесть периодичность свободной системы Лотки – Вольтерры.
При построении периодического процесса управления непрерывная динамика сводится
к дискретной, которая порождает гомеоморфизмы окружности. Получены условия, при которых система периодична. Найдены явные выражения для периодов. Построено множество управляемости. Рассмотрено обобщение задачи, при котором непрерывная динамика индуцирует дискретную, порождающую двойные повороты окружности. Ставится задача нахождения периодических траекторий.