Введено понятие почти вполне замкнутого отображения, обобщающее определение вполне замкнутости. Показано, что свойство почти вполне замкнутости сохраняется при композиции и переходе к пределу счетной обратной трансфинитной последовательности почти вполне замкнутых отображений компактов с первой аксиомой счетности. Определен класс квази-$F$-компактов (включающий в себя класс компактов Федорчука), для которого установлены утверждения, обобщающие и усиливающие некоторые полученные ранее теоремы об $F$-компактах.