Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01.01.05

ПРОГРАММА вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
01.01.05 – «Теория вероятностей и математическая статистика»,

Элементы функционального анализа

1. Полные метрические пространства.
2. Нормированные пространства.
3. Топологические линейные пространства.
4. Слабая топология и слабая сходимость.
5. Измеримые функции.
6. Мера Лебега. Интеграл Лебега-Стильтьеса.

Теория вероятностей

1. Аксиоматика Колмогорова.
2. Случайные величины.
3. Функции распределения и их свойства.
4. Многомерные распределения.
5. Независимость случайных величин.
6. Условная вероятность, формулы Байеса и полной вероятности.
7. Сходимость последовательностей случайных величин (слабая, по вероятности, почти наверное).
8. Параметры распределения, математическое ожидание, дисперсия, моменты, коэффициент корреляции.
9. Неравенство Чебышева, закон больших чисел.
10. Характеристические и производящие функции. Формула обращения. Непрерывность соответствия между распределениями вероятностей и характеристическими функциями.
11. Центральная теорема.
12. Схема серий.
13. Безгранично делимые распределения.
14. Устойчивые распределения.
15. Локальная предельная теорема.

Случайные процессы

1. Цепи Маркова.
2. Ветвящиеся процессы.
3. Винеровский процесс.
4. Пуассоновский процесс.
5. Стационарный процесс.

Математическая статистика

1. Методы нахождения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия.
2. Свободный от распределения доверительный интервал для квантили случайной величины.
3. Основные понятия теории проверки статистических гипотез.
4. Лемма Неймана-Пирсона.
5. Линейный регрессионный анализ. Постановка задачи и нахождение регрессионных коэффициентов в одномерном случае.
6. Анализ главных компонент.
7. Иерархический кластерный анализ.

Дополнительные вопросы по математике

1. Последовательность. Предел последовательности.
2. Функция. Отображение.
3. Предел функций одной и нескольких переменных. Свойства пределов функций.
4. Правило Лопиталя для вычисления пределов.
5. Сравнение бесконечно малых величин.
6. Непрерывность функции одной и нескольких переменных (разные определения).
7. Типы точек разрыва.
8. Теорема Вейерштрасса.
9. Производная.
10. Функции нескольких переменных. Производная по направлению, градиент.
11. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия.
12. Построение касательной к кривой.
13. Интеграл Лебега.
14. Интеграл Римана.
15. Замена переменной в интеграле.
16. Интегрирование по частям.
17. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
18. Формула Ньютона-Лейбница.
19. Геометрический смысл интеграла.
20. Вычисления длины гладкой кривой.
21. Числовой ряд. Сумма ряда.
22. Признаки Коши и Даламбера для сходимости ряда.
23. Интегральный признак.
24. Ряд Тейлора (одномерный и многомерный).
25. Ряд Фурье.
26. Несобственные интегралы.
27. Кратные интегралы.
28. Интегрированные и дифференцированные под знаком интеграла с параметром.
29. Дифференциальные уравнения. Задача Коши, граничная задача.
30. Линейные дифференциальные уравнения.
31. Уравнения в частных производных.
32. Функция комплексной переменной.
33. Ряд Лорана.
34. Вычет функции.
35. Конформное отображение.
36. Интегральные преобразования.
37. Векторное пространство.
38. Базис векторного пространства. Преобразование базиса.
39. Скалярное произведение.
40. Векторное произведение.
41. Смешанное произведение.
42. Уравнение прямой в пространстве.
43. Уравнение плоскости в пространстве.
44. Эллипс.
45. Гипербола.
46. Парабола.
47. Цилиндрические поверхности второго порядка.
48. Эллипсоид, сфера.
49. Параболоид и гиперболоид вращения.
50. Угол между кривыми.
51. Матрица. Действия над матрицами.
52. Ранг матрицы.
53. Определитель.
54. Обратная матрица.
55. Теорема Кронекера-Капелли.
56. Собственные числа матрицы и собственные векторы.
57. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
58. Квадратичная форма.
59. Алгебра.
60. Сигма-алгебра.
61. Норма.
62. Метрические пространства.
63. Евклидово пространство.
64. Гильбертово пространство.
65. Функционал. Вариация функционала.
66. Случайная величина.
67. Вероятность.
68. Дискретная случайная величина.
69. Непрерывная случайная величина.
70. Формула полной вероятности.
71. Формула Байеса.
72. Схема Бернулли.
73. Распределение Пуассона.
74. Равномерное распределение.
75. Биноминальное распределение.
76. Нормальное распределение.
77. Экспоненциальное распределение.
78. Закон больших чисел.
79. Центральная предельная теорема.
80. Характеристики случайных величин.
81. Функция распределения.
82. Независимость случайных величин.
83. Случайный вектор.
84. Коэффициент корреляции.
85. Характеристики случайного вектора.

Список рекомендуемой литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Москва, Academia,2005.
2. Афанасьев В.В. Теория вероятностей. Москва, Владос, 2007.
3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. Москва, URSS, 2009.
4. Харин Ю.С., Зуев Н.П, Жук Е.Е. Теория вероятностей, математика и прикладная статистика. Минск, БГУ, 2011.
5. Булинат А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. Москва, Физматлит, 2003.
6. Морозов Е.В.Теория вероятностей Часть 1. Изд-во ПетрГУ, 2005.
7. Морозов Е.В. Теория вероятностей Часть 2. Изд-во ПетрГУ, 2009.
8. Боровков А. А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1999.
9. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1997.